Démonstration formelle de la conjecture de Collatz utilisant la théorie des graphes

La conjecture de Collatz, également connue sous le nom de problème 3n + 1, est l'un des problèmes non résolus les plus célèbres en mathématiques. Proposée par Lothar Collatz en 1937, la conjecture présente une séquence d'opérations simples appliquées à tout nombre entier positif. Malgré sa simplicité apparente, elle a déconcerté les mathématiciens pendant plus de huit décennies.

Le processus est le suivant : en commençant par un nombre entier positif n, si n est pair, il est divisé par 2 ; s'il est impair, il est multiplié par 3 et on ajoute 1. Ce processus est répété avec le résultat obtenu. La conjecture de Collatz affirme que, quel que soit le nombre initial, la séquence atteindra finalement le nombre 1.

Depuis sa formulation, la conjecture a fait l'objet de recherches intensives. De nombreux mathématiciens ont prouvé qu'elle se vérifie pour un grand nombre de nombres, mais une démonstration générale confirmant la conjecture pour tous les nombres entiers positifs reste insaisissable. La difficulté réside dans la nature imprévisible et chaotique des séquences générées, qui semblent défier toute tentative de généralisation.

En 1952, Bryan Thwaites a proposé la même conjecture de manière indépendante, et depuis lors, elle a été désignée sous plusieurs noms, notamment le problème de Thwaites et le problème de Syracuse. Au fil des ans, de nombreux mathématiciens éminents, comme Paul Erdős et John Conway, ont contribué à son étude, suggérant que sa solution pourrait nécessiter de nouveaux outils mathématiques encore à découvrir.

À l'ère de l'informatique, les algorithmes ont vérifié la conjecture pour des nombres aussi grands que 2^68, soit plus de 295 quintillions de nombres. Malgré cela, la preuve mathématique définitive reste insaisissable, en faisant une énigme fascinante qui continue d'inspirer les nouvelles générations de mathématiciens.

La conjecture de Collatz n'est pas seulement un défi mathématique, mais aussi un rappel du mystère et de la beauté inhérents aux mathématiques. Son histoire témoigne de la puissance de la curiosité humaine et de la persistance dans la quête du savoir, en espérant un jour trouver une réponse définitive à ce problème simple mais déconcertant.

Dans cet article, nous montrerons qu'il est possible de faire une démonstration formelle de la conjecture de Collatz en utilisant la théorie des graphes appliquée à la séquence de Collatz.

"Chaque nombre entier positif a un père impair en utilisant la représentation des pairs et impairs de la séquence de Collatz

et ces relations sont uniques et bidirectionnelles entre eux." ~ Manuel Núñez.